Повратак као у огледалу

Исеците уздужно (или попречно, свеједно) лист хартије, уврните одрезак допола (за 180 степени) и крајеве спојите (залепите). И сада имате чувену траку смишљену 1858. године, а названу према немачком математичару Аугусту Фердинанду Мебијусу. Не знајући за дело својег земљака, исто је открио други Немац, Јохан Бенедикт Листинг, и остао такорећи непознат.

Двојица научника са Универзитета Колеџ у Лондону – Јевгениј Старостин и Герт фан дер Хајден – управо су обзнанили да су разоткрили тајну бесконачности, представљену у тродимензионалном облику (у математици се обележава знаком –  ).

Замислите да је то увијени пут којим идете: свеједно је да ли сте кренули лево или десно, увек ћете стићи на полазиште. Као када бисте се запутили на пут око света пратећи најдужи упоредник на планети – екватор.

Најгушће на превоју

Деценијама су се уметници забављали, а научници упињали да распетљају загонетку својеврсне бесконачне врпце. Холанђанин Мауриц Корнелис Ешер добрим делом се прославио уткавши задивљујуће и збуњујуће петље у поједине своје цртеже.

Пантљика је, математички казано, променљива површина јер је можете спљоштити или развући у кружницу, а да она задржи основно својство тзв. савијене бесконачности. Захваљујући ускладиштеној густини енергије – што је последица савијања – Мебијусова трака сачува извесну гипкост као свака опруга која се, после истезања, враћа у пређашње стање. Места на којима је највише пресавијена (превоји) одликују се најјачом гипкошћу (енергија), насупрот онима на којима је најмање савијена.

Тридесетих година прошлог столећа појавили су се стручни чланци настојећи да појаву објасне иако је – на први поглед – свако дете умело да је начини, али научници нису знали да објасне како такви геометријски облици настају. Двојица истраживача из Велике Британије (из имена и презимена се види да су пореклом из других земаља) најзад су расветлили вишедеценијску тајну. У својем подухвату искористили су двадесетак година старе, непознате једначине, без којих не би то били кадри да остваре своју замисао.

И јасно се показало да облици трака зависе од дужине и ширине изрезаних правоугаоника. Уколико се ширина сразмерно повећава с дужином, мења се густина енергије на пресавијањима, а према томе и облик. Управо на ту заборављену математичку чињеницу, коју су углавном пренебрегавали стручњаци за механику, скреће пажњу Јевгениј Старостин.

Казаљка у два смера

Образац (модел) је, другим речима, применљив у свим случајевима, пише угледни научни часопис "Природа материјала" (Nature Materials). Једначине морају да важе за сваку прилику, чак и за угљеникове наноцевчице које се састављају од веома танких дугачких листића, наглашава математичар Џон Мадокс из Савезног института за технологију у Лозани (Швајцарска).

Дотични приступ требало би да утре пут одгонетању свакојаких биолошких молекула или да објасни зашто се жице (каблови) на стоном телефону или на слушалицама спојене са музичким плејером уврну на једну или другу страну.

Математичари и уметници су, сваки за себе, играјући се разноразним исечцима хартије, покушавали да проникну у суштину Мебијусових трака. Тако је швајцарски скулптор Макс Бил 1936. умислио да је дочарао "бесконачну врпцу" обликујући пламене језичке који су се уздизали из ватре. Утркивали су се архитекте, песници, градитељи, инжењери... Потоњи су смишљали "бескрајне траке" које су целом дужином трпеле исти притисак, а то је значило дуже трајање. Чак се поверовало да ће магнетофонске врпце тако удвостручити време обртања!

Јевгениј Старостин у својим замислима стреми кудикамо даље: исто начело је примењиво на бокор зелене салате или на хемијске превлаке. "Надамо се да ћемо, најзад, схватити како се и зашто тако пресавију и згужвају", закључује он. "Замислите само колико је у том смислу разнородно и сложено лишће појединих биљака."

У еуклидовском (геометријском) простору који једино опажамо појављују се, у суштини, две врсте Мебијусових трака, зависно од полуувртања – у смеру казаљке на сату и обратно. Отуда је она као ваша слика у огледалу, са супротним усмерењем: испало би да сте себе срели са истуреном десном руком, иако сте на пут пошли испруживши леву да се сa неким незнанцем рукујете.