Велики допринос геометрији

Поенкареова хипотеза односи се на једну доста очигледну особину сфере. Наиме, претпоставимо да имамо еластичну траку на сфери која садржи њен екватор и узмимо да трака клизи по сфери према њеном полу, истовремено се скупљајући без кидања. Видимо да се трака на овај начин на крају скупила у једну тачку.

Замислимо исти експеримент за торус, површ која настаје ротацијом кружнице у простору око осе која не пресеца ту кружницу (на пример, ђеврек има облик торуса). Ако је трака обмотана око тела торуса и да било како клизи по његовој површини, видимо да се трака не може скупити у тачку. Имајући у виду претходне особине сфере и торуса, кажемо да је сфера просто повезана површ док то торус није.

Математичари увек воле да постављају обрнута питања. У овом случају питање је: Ако нека површ јесте просто повезана, да ли је она у основи сфера? Речено математичким речником: Да ли је хомеоморфна сфери? На пример, елипсоид је хомеоморфан сфери, јер се непрекидном деформацијом може превести у сферу.

За обичну, дводимензионалну сферу позитиван одговор је дао већ Поенкаре 1904. Истовремено је поставио питање да ли слично тврђење важи и за тродимензионалне сфере (3-Д сфере), скуп тачака у четвородимензионалном простору који се налази на јединичном растојању од центра – дате тачке у том простору. Тродимензионалне сфере имају аналогне особине обичној сфери: на пример, као што је сваки прави пресек обичне сфере са равни кружница, тако је пресек тродимензионалне с хиперравни (геометријски објекат у четвородимензионалном простору, аналогон обичној равни) дводимензиона сфера.

Показало се да је то питање екстремно тешко и одолевало је нападима великог броја математичара све до Перељмановог решења. Овде морамо споменути један чудан феномен. Наиме, Поенкареов проблем има очигледну генерализацију на произвољне коначне димензије. Очекивало би се да је на то питање у случају виших димензија теже одговорити. Испоставило се да није тако.

Наиме, шездесетих година прошлог века Сталинг, Зиман и Смејл доказали су да је Поенкареова хипотеза тачна за димензије сфере веће од 4. Тек двадесет година касније, М. Х. Фридман је доказао истинитост Поенкареове хипотезе и у случају 4-Д сфера. Поенкареов проблем је типичан задатак теорије тополошких простора ниске димензије и део је ширег програма, описа тродимензионалних површи (3-више­стру­кости) у четвородимензионом простору.

Постављена је претпоставка (Терстонова хипотеза, изречена седамдесетих) да се свака 3-вишеструкост може добити на униформан начин од дводимензионих сфера и торуса, дакле геометријских објеката једноставне природе. Прецизније, да постоји тачно осам таквих простоповезаних хомогених простора који имају коначан волумен. Први од тих простора је 3-Д сфера и тај део Терстонове хипотезе односи се на Поенкареов задатак.

Григориј Перељман је доказао тачност Терстонове хипотезе, тиме и партикуларну, Поенкареову хипотезу, и зато добио Филдсову медаљу. Ово решење представља велики допринос бољем разумевању структуре геометријских објеката, такође се могу очекивати примене у другим наукама, на пример у теоријској физици и космологији.

проф. др Жарко Мијајловић

* Професор Математичког факултета у Београду