Veliki doprinos geometriji

Poenkareova hipoteza odnosi se na jednu dosta očiglednu osobinu sfere. Naime, pretpostavimo da imamo elastičnu traku na sferi koja sadrži njen ekvator i uzmimo da traka klizi po sferi prema njenom polu, istovremeno se skupljajući bez kidanja. Vidimo da se traka na ovaj način na kraju skupila u jednu tačku.

Zamislimo isti eksperiment za torus, površ koja nastaje rotacijom kružnice u prostoru oko ose koja ne preseca tu kružnicu (na primer, đevrek ima oblik torusa). Ako je traka obmotana oko tela torusa i da bilo kako klizi po njegovoj površini, vidimo da se traka ne može skupiti u tačku. Imajući u vidu prethodne osobine sfere i torusa, kažemo da je sfera prosto povezana površ dok to torus nije.

Matematičari uvek vole da postavljaju obrnuta pitanja. U ovom slučaju pitanje je: Ako neka površ jeste prosto povezana, da li je ona u osnovi sfera? Rečeno matematičkim rečnikom: Da li je homeomorfna sferi? Na primer, elipsoid je homeomorfan sferi, jer se neprekidnom deformacijom može prevesti u sferu.

Za običnu, dvodimenzionalnu sferu pozitivan odgovor je dao već Poenkare 1904. Istovremeno je postavio pitanje da li slično tvrđenje važi i za trodimenzionalne sfere (3-D sfere), skup tačaka u četvorodimenzionalnom prostoru koji se nalazi na jediničnom rastojanju od centra – date tačke u tom prostoru. Trodimenzionalne sfere imaju analogne osobine običnoj sferi: na primer, kao što je svaki pravi presek obične sfere sa ravni kružnica, tako je presek trodimenzionalne s hiperravni (geometrijski objekat u četvorodimenzionalnom prostoru, analogon običnoj ravni) dvodimenziona sfera.

Pokazalo se da je to pitanje ekstremno teško i odolevalo je napadima velikog broja matematičara sve do Pereljmanovog rešenja. Ovde moramo spomenuti jedan čudan fenomen. Naime, Poenkareov problem ima očiglednu generalizaciju na proizvoljne konačne dimenzije. Očekivalo bi se da je na to pitanje u slučaju viših dimenzija teže odgovoriti. Ispostavilo se da nije tako.

Naime, šezdesetih godina prošlog veka Staling, Ziman i Smejl dokazali su da je Poenkareova hipoteza tačna za dimenzije sfere veće od 4. Tek dvadeset godina kasnije, M. H. Fridman je dokazao istinitost Poenkareove hipoteze i u slučaju 4-D sfera. Poenkareov problem je tipičan zadatak teorije topoloških prostora niske dimenzije i deo je šireg programa, opisa trodimenzionalnih površi (3-više­stru­kosti) u četvorodimenzionom prostoru.

Postavljena je pretpostavka (Terstonova hipoteza, izrečena sedamdesetih) da se svaka 3-višestrukost može dobiti na uniforman način od dvodimenzionih sfera i torusa, dakle geometrijskih objekata jednostavne prirode. Preciznije, da postoji tačno osam takvih prostopovezanih homogenih prostora koji imaju konačan volumen. Prvi od tih prostora je 3-D sfera i taj deo Terstonove hipoteze odnosi se na Poenkareov zadatak.

Grigorij Pereljman je dokazao tačnost Terstonove hipoteze, time i partikularnu, Poenkareovu hipotezu, i zato dobio Fildsovu medalju. Ovo rešenje predstavlja veliki doprinos boljem razumevanju strukture geometrijskih objekata, takođe se mogu očekivati primene u drugim naukama, na primer u teorijskoj fizici i kosmologiji.

prof. dr Žarko Mijajlović

* Profesor Matematičkog fakulteta u Beogradu